Em projetos geotécnicos, a previsão de recalques é tão confiável quanto a distribuição de tensões utilizada para conduzir essa avaliação. Muito antes de as teorias de adensamento, os modelos constitutivos ou os critérios de estado limite de serviço entrarem na discussão, uma questão mais fundamental precisa ser respondida: estamos calculando corretamente a tensão induzida para o perfil de solo em análise?

Para maciços homogêneos ou quase homogêneos, as abordagens clássicas baseadas em Boussinesq têm atendido bem aos engenheiros por mais de um século. Elas são simples, transparentes e, em muitas situações práticas, adequadamente conservadoras. Entretanto, para terrenos estratificados, especialmente quando há contraste significativo de rigidez, o método de cálculo de tensões pode alterar completamente a interpretação geotécnica do problema.

Nessas condições, o método de cálculo de tensões deixa de ser uma escolha secundária de modelagem. Ele pode modificar toda a interpretação de engenharia. Aquilo que aparenta ser uma estimativa segura e conservadora pode, na realidade, representar uma superestimativa substancial dos recalques quando os contrastes de rigidez redirecionam os caminhos de tensão ao longo do perfil.

Este artigo apresenta uma comparação controlada de fluxos de trabalho para previsão de recalques no Settle3 em relação a modelos de referência pelo Método dos Elementos Finitos no RS2 e no RS3. O objetivo é direto: manter constantes a geometria, o nível de carregamento e a estratigrafia, e observar como diferentes métodos de cálculo de tensões influenciam a resposta prevista.

No centro dessa comparação está um método que carrega um legado profundamente pessoal e especial dentro da Rocscience: a solução de tensões em múltiplas camadas desenvolvida pelo nosso falecido colega Dr. Vijayakumar Sinnathurai, juntamente com o Dr. Thamer Yacoub, por meio de um trabalho que traduziu uma teoria elástica rigorosa em uma ferramenta prática de engenharia. Essa colaboração ajudou a incorporar um método matematicamente sofisticado ao projeto geotécnico cotidiano por meio do Settle3.

Os resultados apresentados a seguir ilustram não apenas as implicações de engenharia associadas à escolha do método de cálculo de tensões, mas também o valor de incorporar maior rigor analítico aos fluxos de trabalho práticos de análise de recalques.

O LEGADO DA ROCSCIENCE: A HISTÓRIA POR TRÁS DO MÉTODO

Vijay não foi apenas um matemático brilhante na Rocscience; ele também foi um colaborador científico e de engenharia atento e criterioso. Muitos de nós nos lembramos de longas tardes técnicas discutindo deduções, comportamento de contorno e o significado prático das hipóteses incorporadas em ferramentas de projeto utilizadas no dia a dia, além de muitas conversas pessoais memoráveis. Ele tinha uma rara capacidade de manter o rigor matemático e a usabilidade em engenharia dentro do mesmo enquadramento.

A opção de tensões em múltiplas camadas do Settle3 reflete essa mentalidade. Ela é elegante em sua formulação, prática em sua aplicação e altamente relevante para projetos reais em solos estratificados. Este trabalho é, ao mesmo tempo, uma comparação técnica e um reconhecimento de sua contribuição.

DEFINIÇÃO DO PROBLEMA

O problema de referência consiste no carregamento de um tanque circular de armazenamento apoiado sobre solo estratificado. São comparadas as tensões e os recalques resultantes utilizando:

• Settle3 com cálculo de tensões por Boussinesq;
• Settle3 com cálculo de tensões por múltiplas camadas;
• modelos por Elementos Finitos no RS2 e no RS3 como referência.

Em todas as comparações, o objetivo é direto: manter constantes a geometria, o nível de carregamento e a estratigrafia, avaliando então como o mecanismo de cálculo de tensões altera a resposta prevista.

Para materiais linear-elásticos, as equações governantes são lineares, e o Método dos Elementos Finitos fornece uma aproximação convergente da solução contínua exata à medida que a malha é refinada (Zienkiewicz, Taylor & Zhu, 2013; Brenner & Scott, 2008). Para este estudo de referência linear-elástico, os resultados em MEF do RS2/RS3 são utilizados como referências numéricas de alta fidelidade para comparar os métodos de cálculo de tensões do Settle3.

BREVE TEORIA E FUNDAMENTAÇÃO

O método de Boussinesq utiliza a teoria da elasticidade para calcular a tensão vertical sob uma carga pontual aplicada em um semi-espaço homogêneo, semi-infinito:

em que σL é a tensão de carregamento em qualquer ponto, e o significado dos demais símbolos é indicado a seguir:

Soluções úteis para tensões sob diferentes geometrias de fundações podem ser obtidas por integração sobre a área da fundação. A partir da equação de Boussinesq, observa-se que a formulação é independente das propriedades do material.

O método de múltiplas camadas do Settle3 é construído sobre uma formulação elástica mais rigorosa do que as abordagens simplificadas de camada única ou o método de Boussinesq. Para uma fundação de geometria arbitrária sobre um meio elástico estratificado, tensões e deslocamentos são calculados pela integração de soluções de carga pontual, conhecidas como funções de Green, sobre a área carregada. A avaliação eficiente dessas soluções de carga pontual segue o esquema computacional baseado na transformada de Hankel introduzido por Yue (1995, 1996).

Para cada camada elástica homogênea, as equações diferenciais parciais governantes e as condições de continuidade entre camadas — compatibilizando tensões e deslocamentos nas interfaces — são transformadas em equações diferenciais ordinárias com relações algébricas de contorno. A formulação de Yue resolve esse sistema transformado acoplado por meio de funções especialmente construídas no domínio da transformada, e as tensões e os deslocamentos são recuperados por transformadas inversas. Nessa formulação, as propriedades elásticas de cada camada — módulo de Young e coeficiente de Poisson — são utilizadas explicitamente, de modo que o contraste de rigidez e as características de deformação lateral influenciam diretamente os campos de tensões e deslocamentos calculados.

Como essas funções no domínio da transformada são altamente complexas, sua implementação direta é numericamente intensiva. Na prática, são necessários dois níveis de integração: (1) avaliação das respostas a cargas pontuais; e (2) quadratura numérica sobre a área de aplicação da carga distribuída.

No Settle3, esses níveis computacionais são reorganizados para melhorar a eficiência sem sacrificar a acurácia. A precisão numérica é ainda aprimorada pelo método de conversão de contorno de Vijayakumar, Yacoub e Curran (2000), que converte integrais de área em integrais de contorno. Isso melhora a estabilidade e mitiga problemas de singularidade associados às soluções de funções de Green para cargas pontuais. Em regiões com gradientes de tensão que variam rapidamente, particularmente próximas às bordas da área carregada, é aplicado um esquema adaptativo de subdivisão local.

ESTRUTURA DOS MODELOS E PARÂMETROS CONTROLADOS

Os principais casos de comparação incluem:

• perfil de camada única, utilizado como caso-base de calibração;
• perfil com camada superior mole sobre camada inferior rígida, com 10 m sobre 40 m;
• perfil com camada superior rígida sobre camada inferior mole, com 10 m sobre 40 m.

Configurações representativas do modelo, verificadas a partir dos arquivos de projeto, incluem:

• raio do carregamento circular = 7 m;
• carregamento vertical uniforme = 25 kPa;
• contraste de módulo em duas camadas, com valores de E iguais a 10.000 kPa e 200.000 kPa;
• geometria estratificada equivalente nos modelos do Settle3 e nos modelos em MEF.

Um raio de tanque de 7 m é adequado para este estudo de referência porque produz uma área carregada representativa em relação à espessura de 10 m da camada superior, tornando os efeitos da interface entre camadas claramente visíveis nas comparações de tensões e recalques. A geometria e a configuração dos modelos no Settle3 e no RS2 são apresentadas nas Figuras 3a e 3b, respectivamente.

Nos modelos, os arquivos de camada única e de múltiplas camadas utilizam a mesma configuração geométrica e de carregamento, alterando-se apenas o método de solução de Boussinesq para múltiplas camadas (ver Figura 1). Esse é o controle mais importante do estudo, pois isola o efeito do método em relação ao efeito da configuração do modelo.

O coeficiente de Poisson no modelo em MEF foi definido com valor muito pequeno para que, em termos de comparação e estabelecimento de referência, os resultados em MEF pudessem reproduzir a solução de Boussinesq para um problema de camada única. Observe que a formulação do método de Boussinesq, no cálculo da tensão de carregamento, é independente de quaisquer propriedades do material.

Resumo das hipóteses utilizadas nesta comparação:

1. comportamento linear-elástico dos materiais nos modelos de referência;
2. geometria, carregamento e estratigrafia compatibilizados entre o Settle3 e os modelos em MEF;
3. coeficiente de Poisson muito pequeno utilizado nos métodos de MEF e de múltiplas camadas do Settle3 para alinhamento com a configuração de comparação;
4. foco na comparação do mecanismo de cálculo de tensões, e não na calibração de modelos constitutivos.

VISÃO GERAL DOS RESULTADOS

5.1 CASO-BASE DE CAMADA ÚNICA

No caso de camada única, o Settle3 com Boussinesq, o Settle3 com múltiplas camadas, o RS2 e o RS3 apresentam tendências de concordância esperadas. Esse caso-base é útil porque demonstra que as diferenças não são causadas por inconsistências arbitrárias de modelagem.

Para melhor comparação entre os resultados, a Tabela 1 resume alguns resultados principais dos cálculos de tensão e recalque.

Todos os métodos, nesse caso, apresentam concordância muito próxima, e a solução é muito próxima da solução exata.

5.2 PERFIL COM CAMADA SUPERIOR MOLE SOBRE CAMADA INFERIOR RÍGIDA

Com uma camada superior mais deformável sobre uma base rígida, a resposta do Settle3 com múltiplas camadas acompanha o comportamento em MEF de forma mais próxima do que o método de Boussinesq. Tanto a distribuição de tensões quanto as tendências de recalque indicam uma representação melhor dos efeitos de rigidez estratificada pelo método de múltiplas camadas. Entretanto, ao comparar com o problema de camada única da seção anterior, observa-se claramente que os resultados começam a divergir entre si.

A Figura 5 ilustra esses resultados por meio de gráficos da variação da tensão de carregamento e do recalque sob o centro da carga, utilizando diferentes métodos, além de uma comparação lado a lado dos bulbos de tensão de carregamento e recalque — contornos de distribuição — obtidos pelos métodos de Boussinesq e de Múltiplas Camadas no Settle3 em comparação com o RS2.

Para melhor comparação entre os resultados, a Tabela 2 resume alguns resultados principais dos cálculos de tensão e recalque.

Como esperado, a tensão de carregamento no caso com camada superior mole coincide com o caso de camada única para o método baseado em Boussinesq, porque essa formulação é independente das propriedades do material. De forma semelhante, os recalques superficiais são próximos entre os métodos, e não são observadas diferenças significativas nessa elevação.

5.3 PERFIL COM CAMADA SUPERIOR RÍGIDA SOBRE CAMADA INFERIOR MOLE

É neste caso que o impacto de engenharia se torna mais pronunciado. O método de Boussinesq passa a ser marcadamente conservador em relação ao MEF, enquanto a opção de múltiplas camadas do Settle3 permanece bem alinhada às tendências do MEF. Nos resultados apresentados, o método de Boussinesq superestima o recalque por aproximadamente um fator de dois na condição com camada superior rígida.

A Figura 6 ilustra esses achados por meio de: (1) gráficos de tensão de carregamento e variação de recalque sob o centro da carga para diferentes métodos; e (2) comparações lado a lado de contornos, ou bulbos de tensão/recalque, obtidos pelo Settle3 com Boussinesq e pelo Settle3 com múltiplas camadas em relação ao RS2. Os contornos de tensão de Boussinesq diferem de forma perceptível do RS2, enquanto os contornos de múltiplas camadas apresentam boa concordância com o RS2.

Para melhor comparação entre os resultados, a Tabela 3 resume alguns resultados principais dos cálculos de tensão e recalque.

Como esperado, a tensão de carregamento calculada nesse caso é a mesma do caso de camada única para o método baseado em Boussinesq, porque essa formulação é independente das propriedades do material. É precisamente por isso que o método de Boussinesq pode superestimar significativamente o recalque em perfis estratificados com forte contraste de rigidez.

POR QUE ISSO IMPORTA PARA O PROJETO?

Métodos conservadores são valiosos e muitas vezes necessários. Entretanto, condições de terreno estratificado são comuns na prática, e um método conservador em princípio pode se tornar enganoso em magnitude quando os contrastes de rigidez são elevados. Uma superestimativa nessa escala pode se propagar para mudanças desnecessárias de projeto, aumento de custos e restrições construtivas evitáveis.

O ponto principal não é substituir o julgamento de engenharia por um único método “sempre correto”. Ao contrário, trata-se de aplicar o nível adequado de fidelidade no cálculo de tensões para as condições de terreno que estão sendo modeladas.

RECOMENDAÇÃO PRÁTICA

Para análises de recalque em solos estratificados:

• utilize a tensão calculada por uma abordagem de camada única/Boussinesq como uma referência familiar e uma verificação conservadora rápida;
• utilize o Settle3 com múltiplas camadas como abordagem rotineira preferencial quando houver contraste de rigidez;
• utilize o MEF no RS2/RS3 para verificações mais aprofundadas em casos de maior consequência ou de elevada complexidade.

Em termos práticos, o Settle3 torna essa melhoria acessível. Os engenheiros podem avançar da hipótese convencional de camada única para o tratamento de tensões em meios estratificados com pouco esforço no fluxo de trabalho.

LEGADO E CONTINUIDADE

A opção de tensões em múltiplas camadas não é meramente um recurso em um menu. Ela demonstra o que acontece quando profundidade matemática é traduzida em utilidade de engenharia no dia a dia. Vijay ajudou a tornar isso possível, e seu trabalho continua a influenciar a forma como avaliamos tensões e recalques em projetos reais.

Para aqueles de nós que trabalharam com ele, essa comparação é mais do que uma validação. Ela dá continuidade a conversas iniciadas anos atrás: como manter as ferramentas geotécnicas ao mesmo tempo confiáveis e práticas, e como apoiar melhores decisões de engenharia com o menor conservadorismo desnecessário possível. Essa mesma mentalidade continua a orientar o desenvolvimento dos softwares da Rocscience atualmente.

CONCLUSÃO

A seleção do método de cálculo de tensões não é uma escolha “cosmética” de modelagem. Ela pode alterar materialmente os recalques previstos e, portanto, influenciar os resultados de projeto.

As comparações apresentadas aqui ilustram isso claramente. Para condições homogêneas, as soluções clássicas de Boussinesq permanecem confiáveis e consistentes com as previsões por Elementos Finitos. Entretanto, quando são introduzidos contrastes de rigidez entre camadas, as limitações da hipótese de camada única tornam-se cada vez mais evidentes.

Nesses casos, a formulação de múltiplas camadas do Settle3 fornece resultados que se alinham de forma próxima às soluções em MEF no RS2 e no RS3, preservando ao mesmo tempo a eficiência esperada de uma ferramenta de análise de recalques.

Esse equilíbrio entre rigor analítico e usabilidade prática captura o propósito por trás do desenvolvimento do método. Ele permite que os engenheiros avancem além de hipóteses simplificadas quando as condições do terreno exigem, mantendo ainda um fluxo de trabalho analítico eficiente.

Em última análise, a análise de recalques não se resume a selecionar o modelo mais complexo disponível. Trata-se de escolher o modelo que melhor representa as condições do terreno em avaliação. Quando solos estratificados governam a resposta, incorporar soluções de tensões em múltiplas camadas deixa de ser apenas uma melhoria de acurácia e passa a representar um passo em direção a decisões de engenharia mais informadas e confiáveis.

REFERÊNCIAS

• Brenner, S. C., & Scott, R. (2008). The Mathematical Theory of Finite Element Methods (3rd ed.). Springer.
• Hazzard, J. F., Yacoub, T. E., Vijayakumar, S., & Curran, J. H. (2007). Stresses Under Footings in Multilayered Soils: A Comparative Study. Rocscience technical paper. https://www.rocscience.com/ass…
• Rocscience Inc. (2025). RS2: 2D geotechnical finite element analysis software. Toronto, Canada. https://www.rocscience.com/sof…
• Rocscience Inc. (2025). RS3: 3D geotechnical finite element analysis software. Toronto, Canada. https://www.rocscience.com/software/rs3
• Rocscience Inc. (2025). Settle3: 3D settlement, consolidation, and liquefaction analysis software. Toronto, Canada. https://www.rocscience.com/sof…
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• Vijayakumar, S. (2005). New boundary element methods for solid mechanics: integration methodology and new Green’s functions (PhD thesis). University of Toronto.
• Vijayakumar, S., & Cormack, D. E. (1987). Green’s functions for the biharmonic equation: bonded elastic media. SIAM Journal on Applied Mathematics, 47(5), 982–997.
• Vijaykumar, S., Yacoub, T. E., & Curran, J. H. (2000). A node-centric indirect boundary element method: three-dimensional displacement discontinuity. Computers & Structures, 74, 687–703.
• Yue, Z. Q. (1995). On generalized Kelvin solution in multilayered elastic medium. Journal of Elasticity, 40(1), 1–43.
• Yue, Z. Q. (1996). On elastostatics of multilayered solids subjected to general surface traction. Quarterly Journal of Mechanics and Applied Mathematics, 49(3), 471–499.
• Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., & Zhu, J. Z. (2013). The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals (7th ed.). Elsevier.

Artigo de Dr. Alireza Azami, Diretor de Pesquisa da Rocscience – Canadá.

Tradução de Lucas Guimarães, Engenheiro Geotécnico da Lspot/Rocscience – Brasil

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